Giải tích Ví dụ

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 2 x y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Vì $3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.4

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y^{2}$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.5

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

Bước 1.9

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Nhân $3 + 2 x y^{2}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

Bước 1.9.2

Cộng $4 x y^{2}$ và $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

Bước 1.9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y^{2} + x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.4

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.8

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

Bước 2.9

Cộng $2 y^{2} x + 1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

Bước 2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Bước 2.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Bước 2.10.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $6 y^{2} x + 3$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $6 y^{2} x + 3$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

Bước 5.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

Bước 5.4

Vì $2 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = 3 x + y^{2} x^{2}$ .

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + y^{2} x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.3

Vì $3 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3 x$ đối với $y$ là $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.4

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} x^{2}$ đối với $y$ là $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.8

Cộng $0$ và $2 x^{2} y$ .

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.9

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.10

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.13

Nhân $3 x + y^{2} x^{2}$ với $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.14

Cộng $2 x^{2} y^{2}$ và $y^{2} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.14.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.3.14.2

Cộng $2 x^{2} y^{2}$ và $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Viết lại.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 9.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Bước 9.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

Bước 9.1.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $3 x^{2} y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 9.1.2.2

Trừ $3 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

Bước 9.1.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.3.1

Trừ $3 x^{2} y^{2}$ khỏi $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

Bước 9.1.2.3.2

Cộng $3 x - 3$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

Bước 9.1.2.3.3

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

Bước 9.1.2.3.4

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- 3$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 d y$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = - 3 y + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Bước 12.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Bước 12.3

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

Bước 12.3.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

Bước 12.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

Bước 12.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$