Giải tích Ví dụ

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x - y + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 2.4

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 2.5

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Bước 2.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Bước 2.6.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 + 0}{M}$

Bước 4.3

Thay $1$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $1$ bằng $M$ .

$\frac{1 + 0}{1}$

Bước 4.3.2

Chia $1 + 0$ cho $1$ .

$1 + 0$

Bước 4.3.3

Thay $1$ bằng $M$ .

$1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Bước 6

Nhân $1$ với $e^{y}$ .

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = e^{y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{y} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{y} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 11.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $x e^{y}$ khỏi $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $- y e^{y} + 6 e^{y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- y e^{y} + 6 e^{y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Bước 13.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Bước 13.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Bước 13.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

Bước 13.6

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

Bước 13.7

Vì $6$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

Bước 13.8

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

Bước 13.9

Rút gọn.

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

Bước 13.10

Cộng $e^{y}$ và $6 e^{y}$ .

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$