Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - y = \cos (x)$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \cos (x)$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \cos (x)$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \cos (x)$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \cos (x)$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \cos (x)$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \cos (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \cos (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại $e^{- x}$ và $\cos (x)$ .

$e^{- x} y = \int \cos (x) e^{- x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (x)$ và $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Bước 6.3

Vì $- - 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- - 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Bước 6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Bước 6.4.2

Nhân $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ với $1$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Bước 6.4.3

Sắp xếp lại $e^{- x}$ và $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - \int \sin (x) e^{- x} d x$

Bước 6.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (x)$ và $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - (\sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x)$

Bước 6.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - (\sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x)$

Bước 6.7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - (\sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x)$

Bước 6.7.2

Nhân $\int e^{- x} \cos (x) d x$ với $1$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - (\sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x)$

Bước 6.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) - (\sin (x) (- e^{- x})) - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Bước 6.7.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Bước 6.7.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$e^{- x} y = \cos (x) (- e^{- x}) + \sin (x) e^{- x} - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Bước 6.8

Khi giải tìm $\int e^{- x} \cos (x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{- x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) (- e^{- x}) + \sin (x) e^{- x}}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\cos (x) (- e^{- x}) + \sin (x) e^{- x}}{2} + C$

Bước 6.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Viết lại $\frac{\cos (x) (- e^{- x}) + \sin (x) e^{- x}}{2} + C$ ở dạng $\frac{- \cos (x) e^{- x} + \sin (x) e^{- x}}{2} + C$ .

$e^{- x} y = \frac{- \cos (x) e^{- x} + \sin (x) e^{- x}}{2} + C$

Bước 6.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.2.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- \cos (x) e^{- x} + \sin (x) e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.2.1.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- \cos (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \cos (x)) + \sin (x) e^{- x}}{2} + C$

Bước 6.9.2.1.2

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $\sin (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \cos (x)) + e^{- x} \sin (x)}{2} + C$

Bước 6.9.2.1.3

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $e^{- x} (- \cos (x)) + e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \cos (x) + \sin (x))}{2} + C$

Bước 6.9.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\cos (x)) + \sin (x))}{2} + C$

Bước 6.9.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\cos (x)) - 1 (- \sin (x)))}{2} + C$

Bước 6.9.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\cos (x) - \sin (x)))}{2} + C$

Bước 6.9.2.5

Viết lại $- (\cos (x) - \sin (x))$ ở dạng $- 1 (\cos (x) - \sin (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- 1 (\cos (x) - \sin (x)))}{2} + C$

Bước 6.9.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) + C$

Bước 7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $e^{- x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x)) + C$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x)) + C$ cho $e^{- x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x)) + C$ cho $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Đưa $\frac{e^{- x}}{2}$ ra ngoài $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.3.1.2

Kết hợp.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\cos (x) - \sin (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\cos (x) - \sin (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{- 1 \cdot (\cos (x) - \sin (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\cos (x) - \sin (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$