Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ , $y (2) = 8$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}}$

Bước 1.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Bước 1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Bước 1.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{1}$

Bước 1.3.2.5

Chia $2 x^{3}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 2 x^{3}$

Bước 1.4

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 2 x^{3}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 2 x^{3}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{- 2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 2}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2.5

Nhân $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $\frac{2 y}{x}$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2.5.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.2.5.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Bước 3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} x^{3}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Bước 3.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 x$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 2 x$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Bước 7.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{2} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{2} + C$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế với $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Bước 8.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (x^{2} + C) x^{2}$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(x^{2} + C) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x^{2} x^{2} + C x^{2}$

Bước 8.3.2.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = x^{2 + 2} + C x^{2}$

Bước 8.3.2.1.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$y = x^{4} + C x^{2}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $2$ cho $x$ và $8$ cho $y$ trong $y = x^{4} + C x^{2}$ .

$8 = 2^{4} + C \cdot 2^{2}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$ .

$2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 + C \cdot 2^{2} = 8$

Bước 10.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$16 + C \cdot 4 = 8$

Bước 10.2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $C$ .

$16 + 4 C = 8$

Bước 10.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 C = 8 - 16$

Bước 10.3.2

Trừ $16$ khỏi $8$ .

$4 C = - 8$

Bước 10.4

Chia mỗi số hạng trong $4 C = - 8$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Chia mỗi số hạng trong $4 C = - 8$ cho $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Bước 10.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Bước 10.4.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{- 8}{4}$

Bước 10.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Chia $- 8$ cho $4$ .

$C = - 2$

Bước 11

Thay $- 2$ cho $C$ trong $y = x^{4} + C x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $- 2$ bằng $C$ .

$y = x^{4} - 2 x^{2}$