Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $1 + x^{3}$ ra ngoài $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Bước 2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 2.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 2.3.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Bước 2.5.2

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Bước 2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Bước 2.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Bước 2.6

Kết hợp $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Bước 3.3.2

Giả sử $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Hãy đặt $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Tính đạo hàm $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Bước 3.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + x$ và $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 3.3.2.1.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2.1.3.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2.1.3.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2.1.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Bước 3.3.2.1.3.12

Nhân $1 - x + x^{2}$ với $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.4.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.4

Nhân $2$ với $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.9

Cộng $- x$ và $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.10

Cộng $- 1$ và $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.11

Cộng $x + 2 x^{2}$ và $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.12

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.13

Cộng $2 x^{2}$ và $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Bước 3.3.2.1.4.4.14

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Bước 3.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Bước 3.3.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Bước 3.3.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 3.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 3.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 3.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 3.3.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 3.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 3.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Bước 4.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Bước 4.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Bước 4.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Bước 4.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Bước 4.5.2

Nhân cả hai vế với $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Bước 4.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Bước 4.5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Bước 4.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1

Rút gọn $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1.1

Khai triển $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Di chuyển $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.7

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Cộng $1$ và $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1.2.2.1

Cộng $- x$ và $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.2.2

Cộng $1 + x^{2}$ và $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.2.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Bước 4.5.3.2.1.2.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Bước 4.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Bước 4.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Bước 5.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | 1 + x^{3} |$