Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Bước 2

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Rút gọn $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1.1

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Bước 2.1.1.1.1.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Bước 2.1.1.1.1.3

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Bước 2.1.1.1.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Bước 2.1.1.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Bước 2.1.2

Cộng $2 y \cot (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Bước 2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y + 2 y \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Bước 2.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Bước 2.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Bước 2.2.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Bước 2.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Bước 2.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Bước 3.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Bước 3.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Bước 3.3.4

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Bước 3.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Bước 4.2.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| \sin (x) |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Bước 4.2.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Bước 4.2.1.3

Nhân với $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Bước 4.2.1.4

Tách các phân số.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Bước 4.2.1.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sang $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Bước 4.2.1.6

Chia $| y |$ cho $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Bước 4.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Bước 4.4

Viết lại $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Bước 4.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Bước 4.5.2

Chia mỗi số hạng trong $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ cho $\csc^{2} (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ cho $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Bước 4.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\csc^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Bước 4.5.2.2.1.2

Chia $| y |$ cho $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Bước 4.5.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $e^{x + C}$ ở dạng $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Bước 5.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$