Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.4.3

Nhân $1$ với $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Bước 2.3.3

Viết lại $- x^{- 1} + C_{2}$ ở dạng $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $3 (- \frac{1}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Bước 3.2.2.1.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Bước 3.2.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Bước 3.4

Rút gọn $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Bước 3.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Bước 3.4.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Bước 3.4.2

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Bước 3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Bước 3.4.4

Kết hợp $3$ và $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Bước 3.4.5

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 3.4.6

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 3.4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 3.4.7.2

Nâng $\sqrt[3]{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 3.4.7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Bước 3.4.7.4

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Bước 3.4.7.5

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 3.4.7.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 3.4.7.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.7.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.7.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Bước 3.4.7.5.5

Rút gọn.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Bước 3.4.8

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.9

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Bước 3.4.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

Bước 4

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

Bước 5

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

Bước 5.2

Chia $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ cho $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

Bước 5.3

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ ở dạng ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Rút gọn ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.1.3

Nhân $- 1 + K \cdot 1$ với $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.1.4

Nhân $K$ với $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.3.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.3.2

Rút gọn.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

Bước 5.3.3

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 K = 27 + 3$

Bước 5.3.3.1.2

Cộng $27$ và $3$ .

$3 K = 30$

Bước 5.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 K = 30$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 K = 30$ cho $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Bước 5.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Bước 5.3.3.2.2.1.2

Chia $K$ cho $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

Bước 5.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.3.1

Chia $30$ cho $3$ .

$K = 10$

Bước 6

Thay $10$ cho $K$ trong $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay $10$ bằng $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$