Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{e^{2 x}}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{e^{2 x}}{x}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 1.3

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{e^{2 x}}{x}}{x}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{e^{2 x}}{x}$

Bước 3.4

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{2 x}}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x e^{2 x}}{x}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x e^{2 x}}{x}$

Bước 3.5.2

Chia $e^{2 x}$ cho $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = e^{2 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = e^{2 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int e^{2 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x^{2} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 7.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Bước 7.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Bước 7.5

Rút gọn.

$x^{2} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Bước 7.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.3

Kết hợp.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 1}{2 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.4

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$