Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn $\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{3} - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

Bước 1.1.1.1.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

Bước 1.1.1.1.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.2

Để viết $\frac{d y}{d x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(y - 1) y^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Kết hợp $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(y - 1) y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5.3

Viết lại $- 1 \frac{d y}{d x}$ ở dạng $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5.5

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.5.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5.5.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.5.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.1.5.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Bước 1.1.2

Cho tử bằng không.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

Bước 1.1.3

Giải phương trình để tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

Bước 1.1.3.1.2

Trừ $25$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Bước 1.1.3.2

Đưa $\frac{d y}{d x} y^{2}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Đưa $\frac{d y}{d x} y^{2}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Bước 1.1.3.2.2

Đưa $\frac{d y}{d x} y^{2}$ ra ngoài $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

Bước 1.1.3.2.3

Đưa $\frac{d y}{d x} y^{2}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

Bước 1.1.3.3

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ cho $y^{2} (y - 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ cho $y^{2} (y - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.1.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.1.3.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.1.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.1.3.3.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.1.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.1.3.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.2.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Bước 1.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Bước 1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} (y - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $y^{2} (y - 1)$ ra ngoài $- y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

Bước 1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

Bước 1.4.4

Nhân $- 1$ với $25$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $y^{2} (y - 1)$ .

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.2.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.2.3

Viết lại $- 1 y^{2}$ ở dạng $- y^{2}$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

Bước 2.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$