Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = {(64 x y)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $64 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = {(64 x)}^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $64 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 64^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.1.2

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = 4^{1} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.1.5

Tính số mũ.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $y^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2.2.1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2.2.1.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- \frac{1}{3}}$ đối với $y$ là $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ ở dạng $4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 3 x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = 3 x^{\frac{4}{3}} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Kết hợp.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Bước 3.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Bước 3.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Bước 3.2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Bước 3.2.1.1.6

Chia $y^{\frac{2}{3}}$ cho $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $\frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 (x^{\frac{4}{3}})) + \frac{2}{3} K$

Bước 3.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

Bước 3.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3} K$

Bước 3.2.2.1.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $K$ .

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3}$

Bước 3.3

Lấy mũ lũy thừa $\frac{3}{2}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.4.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.4.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.4.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.4.1.2

Rút gọn.

$y = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$