Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{2 x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách phân số $\frac{x + y}{2 x}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Bước 1.1.2

Trừ $\frac{y}{2 x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{1}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{1}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2 x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{y}{2 x}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.4.2.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.4.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.4.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.2.4.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Bước 3.3

Kết hợp.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Bước 3.4

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.4.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.4.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.6

Di chuyển $x^{1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

Bước 3.7

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.7.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.7.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.7.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.7.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 3.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 7.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 7.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 7.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 7.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 7.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 7.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.4.2.3

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3.2.1.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3.2.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3.2.1.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3.2.1.2.4

Chia $2$ cho $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.3.2.1.3

Rút gọn $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$