Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 x d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int x d x}$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x^{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 6.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 6.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 6.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 6.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 6.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Bước 6.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Bước 6.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ cho $e^{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ cho $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $\frac{1}{2}$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

Bước 9.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 1$

Bước 9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

Bước 9.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 9.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

Bước 9.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$C = \frac{1}{2}$

Bước 10

Thay $\frac{1}{2}$ cho $C$ trong $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $\frac{1}{2}$ bằng $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

Bước 10.2.2

Kết hợp.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

Bước 10.2.3

Nhân $1$ với $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$