Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{\sin (x)}{x^{3}}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{\sin (x)}{x^{3}}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 1.3

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{3 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{3})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{3}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{3}{x}$ và $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x^{3}}}{x}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} \frac{\sin (x)}{x^{3}}$

Bước 3.4

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{\sin (x)}{x^{3}}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{2} \sin (x)}{x^{3}}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} \sin (x)$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{2} (\sin (x))}{x^{3}}$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{2} (\sin (x))}{x^{2} x}$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{2} \sin (x)}{x^{2} x}$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{\sin (x)}{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = \frac{\sin (x)}{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int \frac{\sin (x)}{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{3} y = \int \frac{\sin (x)}{x} d x$

Bước 7

$\int \frac{\sin (x)}{x} d x$ là một tích phân đặc biệt. Tích phân này là hàm tích phân sin.

$x^{3} y = S i (x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} y = S i x + C$ cho $x^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} y = S i x + C$ cho $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{S i x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{S i x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{S i x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $S i x$ .

$y = \frac{x (S i)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$y = \frac{x (S i)}{x \cdot x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x (S i)}{x \cdot x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{S i}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$