Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \sqrt[3]{3 x - 1}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 3 x - 1$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 3 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.3.1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 2.3.4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{12} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} {(3 x - 1)}^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{4} {(3 x - 1)}^{\frac{4}{3}} + K$