Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.2

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.3.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.8

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 2.2.8.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.2.8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.2.8.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2.8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.9

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.11

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.12

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.13.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.14.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.14.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.14.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.14.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.14.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.2.15

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$