Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2.3.1.2

Nhân $x^{4}$ với $x^{\frac{3}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

Bước 2.3.1.2.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Bước 2.3.1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Bước 2.3.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

Bước 2.3.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.5.1

Nhân $4$ với $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

Bước 2.3.1.2.5.2

Cộng $8$ và $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{11}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Bước 4.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Bước 4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Bước 4.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

Bước 4.2.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

Bước 4.2.1.5

Nhân $\frac{2}{13}$ với $0$ .

$0 + K = 0$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 0$

Bước 5

Thay $0$ cho $K$ trong $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $0$ bằng $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

Bước 5.2

Cộng $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ và $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{2}{13}$ và $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$