Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = y^{2} - {(x y)}^{2}$ , $y (3) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + x y) (y - (x y))$

Bước 1.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y^{1} + x y) (y - (x y))$

Bước 1.1.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + x y) (y - (x y))$

Bước 1.1.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y x) (y - (x y))$

Bước 1.1.2.1.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - (x y))$

Bước 1.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - x y)$

Bước 1.1.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y^{1} - x y)$

Bước 1.1.2.3.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 - x y)$

Bước 1.1.2.3.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 + y (- x))$

Bước 1.1.2.3.1.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y (1 - x))$

Bước 1.1.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) y (1 - x)$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y (1 + x) (1 - x)$

Bước 1.1.2.4.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y^{1} (1 + x) (1 - x)$

Bước 1.1.2.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} = y^{1 + 1} (1 + x) (1 - x)$

Bước 1.1.2.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + x) (1 - x)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + x) (1 - x))$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Bước 1.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 - x)$

Bước 1.3.2

Khai triển $(1 + x) (1 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Bước 1.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Bước 1.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 1.3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 1.3.3.1.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 1.3.3.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x + x (- x)$

Bước 1.3.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x \cdot x$

Bước 1.3.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Bước 1.3.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x^{2}$

Bước 1.3.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{2}$

Bước 1.3.3.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 - x^{2}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Bước 2.2.3

Viết lại $- y^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Bước 3.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y, 3, 1, 1$

Bước 3.2.2

Vì $y, 3, 1, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $1, 3, 1, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $y^{1}$ .

Bước 3.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 3.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 3.2.5

Vì $3$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $3$ .

$3$ là một số nguyên tố

Bước 3.2.6

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 3.2.7

BCNN của $1, 3, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$3$

Bước 3.2.8

Thừa số cho $y^{1}$ là chính nó $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ xảy ra $1$ lần.

Bước 3.2.9

BCNN của $y^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y$

Bước 3.2.10

BCNN cho $y, 3, 1, 1$ là phần số $3$ nhân với phần biến.

$3 y$

Bước 3.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ với $3 y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ với $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{3}}{3}$ vào tử số.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.3.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 y$ .

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 (y)) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.3.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- 3 = - x^{3} y + x (3 y) + K (3 y)$

Bước 3.3.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + K (3 y)$

Bước 3.3.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + 3 K y$

Bước 3.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$ .

$- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$

Bước 3.4.2

Đưa $y$ ra ngoài $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- x^{3} y$ .

$y (- x^{3}) + 3 x y + 3 K y = - 3$

Bước 3.4.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $3 x y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + 3 K y = - 3$

Bước 3.4.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $3 K y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + y (3 K) = - 3$

Bước 3.4.2.4

Đưa $y$ ra ngoài $y (- x^{3}) + y (3 x)$ .

$y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K) = - 3$

Bước 3.4.2.5

Đưa $y$ ra ngoài $y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K)$ .

$y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$

Bước 3.4.3

Chia mỗi số hạng trong $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ cho $- x^{3} + 3 x + 3 K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ cho $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Bước 3.4.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Bước 3.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Bước 3.4.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) + 3 x + 3 K}$

Bước 3.4.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 x$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) - (- 3 x) + 3 K}$

Bước 3.4.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) + 3 K}$

Bước 3.4.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 K$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)}$

Bước 3.4.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Bước 3.4.3.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.3.7.1

Viết lại $- (x^{3} - 3 x - 3 K)$ ở dạng $- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Bước 3.4.3.3.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - - \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Bước 3.4.3.3.7.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = 1 \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Bước 3.4.3.3.7.4

Nhân $\frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$ với $1$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $3$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ .

$1 = \frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$ .

$\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3}{27 - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Bước 6.2.2

Nhân $- 3$ với $3$ .

$\frac{3}{27 - 9 + K} = 1$

Bước 6.2.3

Trừ $9$ khỏi $27$ .

$\frac{3}{18 + K} = 1$

Bước 6.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$18 + K, 1$

Bước 6.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$18 + K, 1$

Bước 6.3.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$18 + K$

Bước 6.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3}{18 + K} = 1$ với $18 + K$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3}{18 + K} = 1$ với $18 + K$ .

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $18 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Bước 6.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 = 1 (18 + K)$

Bước 6.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Nhân $18 + K$ với $1$ .

$3 = 18 + K$

Bước 6.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $18 + K = 3$ .

$18 + K = 3$

Bước 6.5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Trừ $18$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 3 - 18$

Bước 6.5.2.2

Trừ $18$ khỏi $3$ .

$K = - 15$

Bước 7

Thay $- 15$ cho $K$ trong $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $- 15$ bằng $K$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 15}$