Giải tích Ví dụ

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x^{2} y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Bước 1.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Bước 1.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Bước 1.6

Di chuyển $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Bước 5

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - \cos (x) + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - \cos (x) + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$