Giải tích Ví dụ

$d x + e^{- 5 x} d y = 0$

Bước 1

Trừ $d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{- 5 x} d y = - d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ .

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ và $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{- 5 x}} d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 d y = - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{- 5 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{- 5 x})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- 5 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 5 x \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{5 x} d x$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $e^{5 x}$ với $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Bước 4.3.3

Giả sử $u = 5 x$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Hãy đặt $u = 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 4.3.3.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 4.3.3.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 4.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Bước 4.3.4

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 4.3.5

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Bước 4.3.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u} + C_{2})$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u} + C_{2}$

Bước 4.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$