Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{2}{3}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 1 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- \frac{2}{3}}$ đối với $y$ là $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ cho $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Bước 3.1.2.2

Chia $y^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Bước 3.2

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 ({(\frac{x}{3})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{3}}{27} + {(\frac{x}{3})}^{2} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3^{2}} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{9} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.6

Kết hợp $\frac{x^{2}}{9}$ và $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.9

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.10

Kết hợp $x$ và $\frac{K^{2}}{9}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Bước 3.3.2.1.2.11

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Bước 3.3.2.1.2.12

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Bước 3.4

Rút gọn $\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại $x$ và $K^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Bước 3.4.3

Di chuyển $\frac{x^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{27}$

Bước 3.4.4

Di chuyển $\frac{K x^{2}}{9}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Bước 3.4.5

Sắp xếp lại $\frac{K^{2} x}{9}$ và $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = K + \frac{K x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$