Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Bước 1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Làm âm số mũ của $e^{3 x^{3}}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

Bước 1.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

Bước 1.2.2.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

Bước 1.2.3

Giả sử $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ , nên $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Tính đạo hàm $e^{- 3 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

Bước 1.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 1.2.3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 1.2.3.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 3 x^{3}$ .

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 1.2.3.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 1.2.3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

Bước 1.2.3.1.3.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

Bước 1.2.3.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ .

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

Bước 1.2.3.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ .

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

Bước 1.2.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

Bước 1.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

Bước 1.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

Bước 1.2.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Rút gọn.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

Bước 1.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{9}$ .

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

Bước 1.2.6.2.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

Bước 1.2.6.2.3

Kết hợp $- 5$ và $\frac{u_{2}}{9}$ .

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

Bước 1.2.6.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

Bước 1.2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

Bước 1.2.6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

Bước 1.4

Kết hợp $e^{- 3 x^{3}}$ và $\frac{5}{9}$ .

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

Bước 1.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ và $y$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2.2

Kết hợp $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ và $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ và $e^{3 x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $e^{3 x^{3}}$ ra ngoài $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân với $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2.3.2.4

Chia $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ cho $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ với $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

Bước 6.2

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ cho $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ cho $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$