Giải tích Ví dụ

$\frac{d P}{d t} = - 5 t e^{- 0.2 t}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d P = - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d P = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$P + C_{1} = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$P + C_{1} = - 5 \int t e^{- 0.2 t} d t$

Bước 2.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{- 0.2 t}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \int - 5 e^{- 0.2 t} d t)$

Bước 2.3.3

Vì $- 5$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - (- 5 \int e^{- 0.2 t} d t))$

Bước 2.3.4

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{- 0.2 t} d t)$

Bước 2.3.5

Giả sử $u = - 0.2 t$ . Sau đó $d u = - 0.2 d t$ , nên $\frac{1}{- 0.2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Hãy đặt $u = - 0.2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Tính đạo hàm $- 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$

Bước 2.3.5.1.2

Vì $- 0.2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 0.2 t$ đối với $t$ là $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.3.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 0.2 \cdot 1$

Bước 2.3.5.1.4

Nhân $- 0.2$ với $1$ .

$- 0.2$

Bước 2.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} \frac{1}{- 0.2} d u)$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} (- \frac{1}{0.2}) d u)$

Bước 2.3.6.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{0.2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int - \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Bước 2.3.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 (- \int \frac{e^{u}}{0.2} d u))$

Bước 2.3.8

Nhân $- 1$ với $5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 \int \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Bước 2.3.9

Vì $\frac{1}{0.2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.2}$ ra khỏi tích phân.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 (\frac{1}{0.2} \int e^{u} d u))$

Bước 2.3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1

Kết hợp $\frac{1}{0.2}$ và $- 5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + \frac{- 5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.10.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$

Bước 2.3.12

Viết lại $- 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$ ở dạng $- 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$

Bước 2.3.13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 0.2 t$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$P = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + K$