Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $9$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Bước 4.2

Rút gọn $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $3$ với $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Bước 4.2.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Bước 4.2.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Bước 4.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Bước 4.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$27 + 3^{1} + K = 1$

Bước 4.2.1.5

Tính số mũ.

$27 + 3 + K = 1$

Bước 4.2.2

Cộng $27$ và $3$ .

$30 + K = 1$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $30$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 1 - 30$

Bước 4.3.2

Trừ $30$ khỏi $1$ .

$K = - 29$

Bước 5

Thay $- 29$ cho $K$ trong $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 29$ bằng $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$