Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

Bước 1

Viết lại $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

Bước 6.1.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = V$ và $b = 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Bước 6.1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

Bước 6.1.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Bước 6.1.1.2.2.2

Cộng $0$ và $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Bước 6.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Khai triển $(V + 1) (V - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

Bước 6.2.2.1.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

Bước 6.2.2.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Bước 6.2.2.1.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1.1

Nhân $V$ với $V$ .

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $V$ .

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.3

Viết lại $- 1 V$ ở dạng $- V$ .

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.4

Nhân $V$ với $1$ .

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$V^{2} - V + V - 1$

Bước 6.2.2.1.1.2.2

Cộng $- V$ và $V$ .

$V^{2} + 0 - 1$

Bước 6.2.2.1.1.2.3

Cộng $V^{2}$ và $0$ .

$V^{2} - 1$

Bước 6.2.2.1.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Bước 6.2.2.1.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 6.2.2.1.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.2.1.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Bước 6.2.2.1.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.2.1.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{0}{1}$

Bước 6.2.2.1.4.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$d = 0$

Bước 6.2.2.1.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 6.2.2.1.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Bước 6.2.2.1.5.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Bước 6.2.2.1.5.2.1.3

Chia $0$ cho $4$ .

$e = - 1 - 0$

Bước 6.2.2.1.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = - 1 + 0$

Bước 6.2.2.1.5.2.2

Cộng $- 1$ và $0$ .

$e = - 1$

Bước 6.2.2.1.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(V + 0)}^{2} - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Giả sử $u = V + 0$ . Sau đó $d u = d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Hãy đặt $u = V + 0$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Bước 6.2.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $V + 0$ đối với $V$ là $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Bước 6.2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Bước 6.2.2.2.1.4

Vì $0$ là hằng số đối với $V$ , đạo hàm của $0$ đối với $V$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.2.2.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Giả sử $u = \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.1

Rút gọn $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.2.1

Đưa $\tan (t)$ ra ngoài $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.6.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (u)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $V + 0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.7.1

Cộng $V$ và $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7.2

Cộng $V$ và $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Các hàm secant và arcsecant là nghịch đảo.

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.3.2

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (V)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\tan (arcsec (V))$ là $\sqrt{V^{2} - 1}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.3.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.3.4

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.4

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

Bước 6.3.5

Viết lại $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

Bước 6.3.6

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

Bước 6.3.6.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.6.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.6.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.6.4

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | x |$ .

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

Bước 6.3.6.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

Bước 6.3.6.4.3

Giải tìm $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm | x | e^{C}$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

Bước 6.3.6.4.3.2

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

Bước 6.3.6.4.4

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ ở dạng ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.2.1

Rút gọn ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.2

Khai triển $(V + 1) (V - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

Nhân $V$ với $V$ .

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $V$ .

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

Viết lại $- 1 V$ ở dạng $- V$ .

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

Nhân $V$ với $1$ .

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.2

Cộng $- V$ và $V$ .

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.3.3

Cộng $V^{2}$ và $0$ .

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.2.1.4

Rút gọn.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1

Rút gọn ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.1

Viết lại ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ ở dạng $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ .

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.2

Khai triển $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

Nhân $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

Nâng $\pm e^{C} | x |$ lên lũy thừa $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

Nâng $\pm e^{C} | x |$ lên lũy thừa $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

Nhân các số mũ trong ${(e^{C})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $C$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

Nhân $V$ với $V$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

Di chuyển $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

Nhân $V$ với $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

Nhân $V^{2}$ với $1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.2

Trừ $V (\pm e^{C} | x |)$ khỏi $- (\pm e^{C} | x |) V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

Di chuyển $\pm e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

Trừ $V (\pm e^{C} | x |)$ khỏi $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Bước 6.3.6.4.5.3.1.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ .

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Bước 6.3.6.4.6

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.1

Vì $V$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

Bước 6.3.6.4.6.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $V$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.2.1

Trừ $V^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

Bước 6.3.6.4.6.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.2.2.1

Trừ $V^{2}$ khỏi $V^{2}$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

Bước 6.3.6.4.6.2.2.2

Cộng $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ và $0$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

Bước 6.3.6.4.6.3

Trừ $x^{2} e^{2 C}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Bước 6.3.6.4.6.4

Chia mỗi số hạng trong $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ cho $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ cho $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ .

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Bước 6.3.6.4.6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Bước 6.3.6.4.6.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Bước 6.3.6.4.6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\pm e^{C} | x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Bước 6.3.6.4.6.4.2.2.2

Chia $V$ cho $1$ .

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Bước 6.3.6.4.6.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.6.4.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Bước 6.3.6.4.6.4.3.1.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

Bước 6.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Bước 6.4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Rút gọn $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Bước 8.2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

Bước 8.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Bước 8.2.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2 C | x |}$ và $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Bước 8.2.2.1.4

Nhân $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.4.1

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2 | x |}$ và $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

Bước 8.2.2.1.4.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.4.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.4.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

Bước 8.2.2.1.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

Bước 8.2.2.1.4.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$