Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung ${(y + 2)}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y + 2$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Di chuyển $u^{6}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Bước 2.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{6})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 6}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Viết lại $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{5}}$ với $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.4.2.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $- 1$ cho $y$ trong $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Bước 4.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Bước 4.3

Rút gọn $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $- 1$ và $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Bước 4.3.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Bước 4.3.2

Nhân $5$ với $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Bước 5

Thay $- \frac{1}{5}$ cho $K$ trong $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{1}{5}$ bằng $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$