Giải tích Ví dụ

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $r$ ra ngoài $r θ + r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $r$ ra ngoài $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Bước 1.1.2

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Bước 1.1.3

Đưa $r$ ra ngoài $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Bước 1.1.4

Đưa $r$ ra ngoài $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Bước 1.2

Đưa $θ$ ra ngoài $r θ + θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $θ$ ra ngoài $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Bước 1.2.2

Nâng $θ$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Bước 1.2.3

Đưa $θ$ ra ngoài $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Bước 1.2.4

Đưa $θ$ ra ngoài $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Bước 1.3

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Bước 1.4

Nhân cả hai vế với $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $\frac{r}{r + 1}$ với $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $r + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $r + 1$ ra ngoài $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Bước 1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Bước 1.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Bước 1.6

Viết lại phương trình.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{r}$ đối với $r$ là $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{θ}$ đối với $θ$ là $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$