Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{2}) d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

Bước 1

Cộng $(1 + y^{2}) d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$(1 + x^{2}) d y = (1 + y^{2}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Bước 5.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Bước 5.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Bước 5.4

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Bước 5.5

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Bước 5.6

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 5.7

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Bước 5.8

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Bước 5.9

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Bước 5.10

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 5.11

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$