Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Bước 4

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $\sqrt{3}$ cho $y$ trong $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Bước 5

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Bước 5.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $C$ từ trong hàm tang.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Bước 5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn $| \sec (0) |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Bước 5.3.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Bước 5.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Giá trị chính xác của $\arctan (\sqrt{3})$ là $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Bước 5.5

Chia $3.14159265$ cho $3$ .

$1 = 1.04719755$

Bước 5.6

Vì $1 \neq 1.04719755$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 5.7

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Bước 5.8

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Rút gọn $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1.1

Chia $3.14159265$ cho $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Bước 5.8.1.2

Cộng $3.14159265$ và $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Bước 5.8.2

Vì $1 \neq 4.1887902$ , nên không có đáp án.

$Không có đáp án$