Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{2 x y}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{2 x y}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách phân số $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{2 x y}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Bước 1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Bước 1.1.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Bước 1.1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Bước 1.1.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $f (\frac{y}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\frac{x}{y}$ ra ngoài $\frac{x}{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $\frac{x}{y}$ ra ngoài $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

Bước 1.2.1.2

Sắp xếp lại $\frac{x}{y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Bước 1.2.2

Viết lại $\frac{x}{y}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

Bước 6.1.1.1.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

Bước 6.1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

Bước 6.1.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{1}{2 V} + V - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

Bước 6.1.1.2.2.2

Cộng $\frac{1}{2 V}$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Nhân $\frac{1}{2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $2 V$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $\frac{1}{2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Bước 6.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.1

Đưa $2 V$ ra ngoài $2 V x$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

Bước 6.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Bước 6.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $V$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $V$ đối với $V$ là $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2.3

Nhân $V^{2}$ với $1$ .

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Bước 6.3.2

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Bước 6.3.2.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.