Giải tích Ví dụ

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ với $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Bước 1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Bước 1.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Sau đó $d u = (- 6 x + 5) d x$ , nên $- d u = (6 x - 5) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.4.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.1.4.3

Nhân $5$ với $1$ .

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.1.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.5.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 6 x + 5 + 0$

Bước 2.2.1.1.5.2

Cộng $- 6 x + 5$ và $0$ .

$- 6 x + 5$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.2

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.3

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$