Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Bernoulli.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Để giải phương trình vi phân, để $v = y^{1 - n}$ trong đó $n$ là số mũ của $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Bước 3

Giải phương trình để tìm $y$ .

$y = v^{2}$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $y$ đối với $x$ .

$y' = v^{2}$

Bước 5

Lấy đạo hàm của $v^{2}$ đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lấy đạo hàm của $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Bước 5.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Bước 5.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Bước 5.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Bước 6

Thay $2 v v'$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $v^{2}$ cho $y$ trong phương trình gốc $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 7

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ cho $2 v$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ cho $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.2.2

Chia $\frac{d v}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $v^{2}$ và $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.3.1

Đưa $v$ ra ngoài $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.3.2.1

Đưa $v$ ra ngoài $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.6

Nhân $\frac{v}{x}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.2.1.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Bước 7.1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1.1

Nhân các số mũ trong ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Bước 7.1.1.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Bước 7.1.1.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Bước 7.1.1.3.1.2

Rút gọn.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Bước 7.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Bước 7.1.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Bước 7.1.2

Đưa $v$ ra ngoài $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Bước 7.1.3

Sắp xếp lại $v$ và $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Bước 7.2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Bước 7.2.2

Lấy tích phân $\frac{1}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 7.2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Bước 7.2.2.3

Rút gọn.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Bước 7.2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Bước 7.2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 7.2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{\frac{1}{2}}$

Bước 7.3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân từng số hạng với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x}$ và $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.2

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.4

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.4.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.4.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2.4.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Bước 7.3.3

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 7.4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 7.5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Bước 7.6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Bước 7.7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 7.7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7.7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.3.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.3.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.7.3.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.7.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.3.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.7.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.3.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.7.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.7.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.8

Chia mỗi số hạng trong $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ cho $x^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ cho $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.2.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3.1.2

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1.2.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3.1.2.4

Cộng $- 1$ và $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3.1.2.5

Chia $2$ cho $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3.1.3

Rút gọn $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.8.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8

Thay $y^{\frac{1}{2}}$ bằng $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$