Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Bước 1

Giả sử $v = e^{x + y}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x + y}$ .

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d y}$ bằng cách tính đạo hàm $e^{x + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Bước 3

Thay $v$ bằng $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Bước 4

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Bước 4.2

Cộng $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ và $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Bước 5

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giải tìm $\frac{d v}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân cả hai vế với $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Bước 5.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Bước 5.1.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Bước 5.1.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Nhân $v$ với $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Bước 5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Bước 5.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Bước 6

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Bước 6.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Di chuyển $v^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Bước 6.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Bước 6.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Bước 6.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $v^{- 2}$ đối với $v$ là $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Bước 6.2.3

Viết lại $- v^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Bước 6.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{v} = y + K$

Bước 7

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$v, 1, 1$

Bước 7.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$v$

Bước 7.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{v} = y + K$ với $v$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{v} = y + K$ với $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{v}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Bước 7.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Bước 7.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = y v + K v$

Bước 7.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $y v + K v = - 1$ .

$y v + K v = - 1$

Bước 7.3.2

Đưa $v$ ra ngoài $y v + K v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Đưa $v$ ra ngoài $y v$ .

$v y + K v = - 1$

Bước 7.3.2.2

Đưa $v$ ra ngoài $K v$ .

$v y + v K = - 1$

Bước 7.3.2.3

Đưa $v$ ra ngoài $v y + v K$ .

$v (y + K) = - 1$

Bước 7.3.3

Chia mỗi số hạng trong $v (y + K) = - 1$ cho $y + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $v (y + K) = - 1$ cho $y + K$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Bước 7.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Bước 7.3.3.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Bước 7.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Bước 9.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Khai triển $\ln (e^{x + y})$ bằng cách di chuyển $x + y$ ra bên ngoài lôgarit.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Bước 9.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Bước 9.2.3

Nhân $x + y$ với $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Bước 9.3

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$