Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = e^{t}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = e^{t}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{1}{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (t)}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$t$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t e^{t}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{t}$ và $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t e^{t}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t e^{t}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$t \frac{d y}{d t} + y = t e^{t}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [t y] = t e^{t}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int t e^{t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$t y = \int t e^{t} d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{t}$ .

$t y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Bước 7.2

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$t y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$t y = t e^{t} - e^{t} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $t y = t e^{t} - e^{t} + C$ cho $t$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $t y = t e^{t} - e^{t} + C$ cho $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t y}{t} = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.3.1.1.2

Chia $e^{t}$ cho $1$ .

$y = e^{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = e^{t} - \frac{e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $0$ cho $y$ trong $y = e^{t} - \frac{e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$ .

$0 = e^{0} - \frac{e^{0}}{0} + \frac{C}{0}$

Bước 10

Phương trình này có một phân số không xác định

$Không xác định$