Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung ${(2 + y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa ${(2 + y)}^{2}$ ra ngoài $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = 2 + y$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = 2 + y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.4

Viết lại $- u^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.3

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2 + y, 1, 1$

Bước 3.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$2 + y, 1, 1$

Bước 3.1.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$2 + y$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ với $2 + y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ với $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2 + y}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Bước 3.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

Bước 3.2.3.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

Bước 3.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

Bước 3.2.3.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $K$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

Bước 3.2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ .

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $2 \tan (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

Bước 3.3.2.2

Trừ $2 K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Bước 3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \tan (x) + K y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \tan (x)$ .

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Bước 3.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $K y$ .

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Bước 3.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (\tan (x)) + y K$ .

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Bước 3.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ cho $\tan (x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ cho $\tan (x) + K$ .

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (x) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.1.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.1.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 - 2 \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.1.3.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.3.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.3.1.4

Viết lại $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ ở dạng $- (1 + 2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.3.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

Bước 3.3.4.3.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $π$ cho $x$ và $- 5$ cho $y$ trong $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ .

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ .

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Bước 6.2

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Bước 6.2.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Bước 6.2.3

Nhân $2 (- 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Bước 6.2.3.2

Nhân $2$ với $0$ .

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Bước 6.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Bước 6.2.5

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

Bước 6.2.6

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

Bước 6.2.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

Bước 6.2.8

Cộng $0$ và $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

Bước 6.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$K, 1$

Bước 6.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$K$

Bước 6.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ với $K$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ với $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1 + K}{K}$ vào tử số.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Bước 6.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Bước 6.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- (1 + K) = - 5 K$

Bước 6.4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

Bước 6.4.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 - K = - 5 K$

Bước 6.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $K$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Cộng $5 K$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 1 - K + 5 K = 0$

Bước 6.5.1.2

Cộng $- K$ và $5 K$ .

$- 1 + 4 K = 0$

Bước 6.5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 K = 1$

Bước 6.5.3

Chia mỗi số hạng trong $4 K = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 K = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 6.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 6.5.3.2.1.2

Chia $K$ cho $1$ .

$K = \frac{1}{4}$

Bước 7

Thay $\frac{1}{4}$ cho $K$ trong $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $\frac{1}{4}$ bằng $K$ .

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

Bước 7.2

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ với $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

Bước 7.2.2

Kết hợp.

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Bước 7.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Bước 7.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Bước 7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $4$ với $1$ .

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Bước 7.5.2

Nhân $4$ với $2$ .

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Bước 7.5.3

Cộng $4$ và $1$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

Bước 7.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan (x) + 4 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan (x)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

Bước 7.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 K$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

Bước 7.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$