Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Bước 1

Trừ $(x^{2} + 1) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x^{2}}$ vào tử số.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Bước 3.4.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.4.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Bước 4.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 4.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 4.3.6.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Bước 5.2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Bước 5.2.2.1.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Bước 5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Bước 5.4

Rút gọn $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Bước 5.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Bước 5.4.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Bước 5.4.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Bước 5.4.2

Để viết $- x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Bước 5.4.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp $- x$ và $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Bước 5.4.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Bước 5.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Bước 5.4.4.2

Viết lại $x \cdot x$ ở dạng $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Bước 5.4.4.3

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Bước 5.4.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Bước 5.4.5

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Bước 5.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.7.1

Khai triển $(1 + x) (1 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.7.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2.1.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.7.2.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Bước 5.4.7.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Bước 5.4.8

Kết hợp $3$ và $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Bước 5.4.9

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 5.4.10

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.4.11

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.4.11.2

Nâng $\sqrt[3]{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Bước 5.4.11.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Bước 5.4.11.4

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Bước 5.4.11.5

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 5.4.11.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 5.4.11.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 5.4.11.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 5.4.11.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Bước 5.4.11.5.5

Rút gọn.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Bước 5.4.12

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Bước 5.4.13

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Bước 5.4.14

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$