Giải tích Ví dụ

$\frac{d r}{d θ} = π \sin (π θ)$ , $r (0) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d r = π \sin (π θ) d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d r = \int π \sin (π θ) d θ$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$r + C_{1} = \int π \sin (π θ) d θ$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $π$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $π$ ra khỏi tích phân.

$r + C_{1} = π \int \sin (π θ) d θ$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = π θ$ . Sau đó $d u = π d θ$ , nên $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = π θ$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $π$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $π θ$ đối với $θ$ là $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $π$ với $1$ .

$π$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$r + C_{1} = 1 \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.5.3

Nhân $\int \sin (u) d u$ với $1$ .

$r + C_{1} = \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$r + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $π θ$ .

$r + C_{1} = - \cos (π θ) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$r = - \cos (π θ) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $θ$ và $2$ cho $r$ trong $r = - \cos (π θ) + K$ .

$2 = - \cos (π \cdot 0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \cos (π \cdot 0) + K = 2$ .

$- \cos (π \cdot 0) + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $π$ với $0$ .

$- \cos (0) + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 2 + 1$

Bước 4.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$K = 3$

Bước 5

Thay $3$ cho $K$ trong $r = - \cos (π θ) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3$ bằng $K$ .

$r = - \cos (π θ) + 3$