Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{2}) d y + y d x = 0$

Bước 1

Trừ $y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(1 + x^{2}) d y = - y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 4.3.3

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \arctan (x) + C}$

Bước 5.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \arctan (x) + C} = | y |$

Bước 5.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \arctan (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \arctan (x) + C}$

Bước 5.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x) + C}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $e^{- \arctan (x) + C}$ ở dạng $e^{- \arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x)} e^{C}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $e^{- \arctan (x)}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \arctan (x)}$

Bước 6.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \arctan (x)}$