Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Bước 1.1.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 x (2 y) + 4 x \cdot 1 = 0$

Bước 1.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x \cdot 1 = 0$

Bước 1.1.1.4.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x = 0$

Bước 1.1.1.5

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 8 x y + 4 x = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Trừ $4 x y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 8 x y + 4 x = - 4 x y^{2}$

Bước 1.1.2.2

Trừ $8 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x = - 4 x y^{2} - 8 x y$

Bước 1.1.2.3

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Bước 1.1.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Bước 1.1.3.2

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Bước 1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ cho $x^{2} + 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ cho $x^{2} + 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.1.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.1.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.1.2

Kết hợp thành một phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.1.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 4 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.1.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) - 4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.1.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.1.4

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.1.5

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ và có tổng là $b = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.2.1.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 (y) - 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.2.1.2

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1$ cộng $- 1$

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} + (- 1 - 1) y - 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 1 y - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y^{2} - 1 y) - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (y (- 1 y - 1) + 1 (- y - 1))}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 1 y - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y - 1) (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.3

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- y - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1 (1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.4

Viết lại $- (y + 1)$ ở dạng $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.5

Nâng $y + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.6

Nâng $y + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1})}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{1 + 1}}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.2.4.9

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Bước 1.1.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (- \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung ${(y + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ vào tử số.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Bước 1.4.2.2

Đưa ${(y + 1)}^{2}$ ra ngoài $\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Bước 1.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = y + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = y + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Di chuyển ${u_{1}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{- 2}$ đối với $u_{1}$ là $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.2.4

Viết lại $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Bước 2.3.4

Giả sử $u_{2} = x^{2} + 2$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u_{2} = x^{2} + 2$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Bước 2.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.4.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.4.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{y + 1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $- 2 \ln (| x^{2} + 2 |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$

Bước 3.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y + 1, 1, 1$

Bước 3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y + 1, 1, 1$

Bước 3.2.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y + 1$

Bước 3.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ với $y + 1$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ với $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y + 1}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Bước 3.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Bước 3.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x^{2} + 2 |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Bước 3.3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) \cdot 1 + C (y + 1)$

Bước 3.3.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C (y + 1)$

Bước 3.3.3.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C \cdot 1$

Bước 3.3.3.1.5

Nhân $C$ với $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Bước 3.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Bước 3.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$

Bước 3.4.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) = - C y - C - 1$

Bước 3.4.3

Cộng $C y$ cho cả hai vế của phương trình.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1$

Bước 3.4.4

Cộng $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ cho cả hai vế của phương trình.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Bước 3.4.5

Đưa $y$ ra ngoài $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Bước 3.4.5.2

Đưa $y$ ra ngoài $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Bước 3.4.5.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Bước 3.4.6

Viết lại $- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ ở dạng $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Bước 3.4.7

Chia mỗi số hạng trong $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ cho $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Chia mỗi số hạng trong $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ cho $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 3.4.7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- C - 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- C - 1 (1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- C - 1 (1)$ .

$y = \frac{- (C + 1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y = \frac{- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2.7

Viết lại $- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ ở dạng $- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Bước 3.4.7.3.2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $C$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)}$

Bước 3.4.7.3.2.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Bước 3.4.7.3.2.10

Viết lại $- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ ở dạng $- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Bước 3.4.7.3.2.11

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Bước 3.4.7.3.2.12

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$