Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $b y t$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

Bước 1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = b t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int b t d t}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $b t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $b$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $b$ ra khỏi tích phân.

$e^{b \int t d t}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Viết lại $b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ ở dạng $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Kết hợp $b$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2

Kết hợp $\frac{b}{2}$ và $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $b$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

Bước 2.5

Kết hợp $\frac{b}{2}$ và $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

Bước 3.2

Nhân $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ với $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tích phân của $0$ đối với $t$ là $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

Bước 7.2

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ cho $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ cho $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$