Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (x)}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giả sử $u = x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Hãy đặt $u = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 7.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 7.2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Bước 7.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Bước 7.4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn.

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Bước 7.5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (u)$ .

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Bước 7.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

Bước 7.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Kết hợp $\cos (x^{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.3

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$