Giải tích Ví dụ

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y d y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Bước 2.2

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x e^{x^{2} + y}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 2.4.2

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 2.4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Bước 2.4.5

Nhân $e^{x^{2} + y}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.2

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $x e^{x^{2} + y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $x e^{x^{2} + y}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Bước 5.3

Thay $x e^{x^{2} + y}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $x e^{x^{2} + y}$ bằng $M$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.3.2

Trừ $x e^{x^{2} + y}$ khỏi $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.3.4

Thay $x e^{x^{2} + y}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.3.4.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int - 1 d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Bước 6.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $x e^{x^{2} + y}$ với $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $e^{x^{2} + y}$ với $e^{- y}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Bước 7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Bước 7.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- y + x^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Cộng $- y$ và $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Bước 7.2.3.2

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $- y$ với $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giả sử $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 9.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 9.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 9.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 9.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 9.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Bước 9.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Bước 9.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 9.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Bước 9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Bước 12.3

Vì $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Bước 12.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- y e^{- y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Bước 13.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Bước 13.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Bước 13.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Bước 13.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Bước 13.6.2

Nhân $\int e^{- y} d y$ với $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Bước 13.7

Giả sử $u = - y$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.7.1

Hãy đặt $u = - y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.7.1.1

Tính đạo hàm $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Bước 13.7.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Bước 13.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 13.7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 13.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 13.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Bước 13.9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Bước 13.10

Viết lại $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ ở dạng $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Bước 13.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Bước 13.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Bước 13.12.2

Nhân $- (- y e^{- y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.12.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Bước 13.12.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Bước 13.12.3

Nhân $- - e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.12.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Bước 13.12.3.2

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$