Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 9$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ , nên $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Bước 2.3.2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Bước 2.3.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{9}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Bước 2.3.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Bước 2.3.2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.3

Kết hợp $9$ và $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.4.2

Chia $u_{2}$ cho $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Bước 2.3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Bước 4.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Bước 4.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 2 - 1$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$K = 1$

Bước 5

Thay $1$ cho $K$ trong $y = e^{- x^{9}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $1$ bằng $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$