Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

Bước 1

Cộng $x^{2} y d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$(1 + x^{3}) d y = x^{2} y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 + x^{3}$ ra ngoài $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (x^{2} y) d x$

Bước 3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Bước 3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{3}} x^{2} d x$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{1 + x^{3}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Bước 3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1^{3} + x^{3}} d x$

Bước 3.4.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} d x$

Bước 3.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} d x$

Bước 3.4.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giả sử $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Hãy đặt $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Tính đạo hàm $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Bước 4.3.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + x$ và $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.3.1.1.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.1.1.3.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.1.1.3.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.1.1.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Bước 4.3.1.1.3.12

Nhân $1 - x + x^{2}$ với $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.4.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.4

Nhân $2$ với $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.9

Cộng $- x$ và $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.10

Cộng $- 1$ và $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.11

Cộng $x + 2 x^{2}$ và $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.12

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.13

Cộng $2 x^{2}$ và $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Bước 4.3.1.1.4.4.14

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Bước 4.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Bước 4.3.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Bước 4.3.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 4.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} + C$

Bước 5.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} = C$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Khai triển $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.1

Di chuyển $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.7

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.7.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |)}{3} = C$

Bước 5.3.2.7.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- x$ và $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.3.3.2

Cộng $1 + x^{2}$ và $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.3.3.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 0 + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.3.3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.4

Để viết $\ln (| y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Kết hợp $\ln (| y |)$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3 - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln (| y |)$ .

$\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.7

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Rút gọn $\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.1

Rút gọn $3 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y |}^{3}) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.2

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.4

Khai triển $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.5.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.5.6.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.7

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.5.7.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.5.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.5.7.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.6

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.6.1

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.6.2

Cộng $1 + x^{2}$ và $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.6.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 0 + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.6.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.7

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.8

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1.3.9.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.1.3.9.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Bước 5.7.1.2

Viết lại $\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3}$ ở dạng $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Bước 5.7.1.3

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}^{\frac{1}{3}}) = C$

Bước 5.7.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$ .

$\ln (\frac{{({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{{| y |}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.5.2

Rút gọn.

$\ln (\frac{| y |}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.6.1

Khai triển $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.6.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.6.2.6.1

Di chuyển $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.7

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.6.2.7.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.6.2.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.2.7.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.6.3.1

Cộng $- x$ và $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.3.2

Cộng $1 + x^{2}$ và $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.3.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 0 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.7.1.6.3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Bước 5.8

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Bước 5.9

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.10

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Bước 5.10.2

Nhân cả hai vế với ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.10.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.10.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.10.4

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Bước 6.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$