Giải tích Ví dụ

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Bước 1

Giả sử $v = e^{4 y}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{4 y}$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $e^{4 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Bước 3

Thay $v$ bằng $e^{4 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Bước 4

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Bước 5

Trừ $3 v$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Bước 6

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 3 d x}$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- 3 x + C}$

Bước 6.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 3 x}$

Bước 7

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân từng số hạng với $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Bước 7.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Bước 7.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Bước 7.4

Nhân $e^{- 3 x}$ với $e^{3 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Di chuyển $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Bước 7.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Bước 7.4.3

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Bước 7.5

Rút gọn $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Bước 7.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Bước 8

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Bước 9

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Bước 10

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Bước 11

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Bước 11.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 11.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 11.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 11.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 11.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Bước 11.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Bước 12

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ cho $e^{- 3 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ cho $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 12.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 12.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 14

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Bước 14.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Khai triển $\ln (e^{4 y})$ bằng cách di chuyển $4 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Bước 14.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Bước 14.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Bước 14.3

Chia mỗi số hạng trong $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ cho $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Bước 14.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Bước 14.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$