Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Sau đó $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3.2.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.3.2.1.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.3.2.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Bước 2.3.2.1.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.4.1

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Bước 2.3.2.1.4.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $u_{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Bước 2.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Bước 2.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Bước 2.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Bước 2.3.7.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Bước 2.3.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{3}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.9.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.9.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.9.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.9.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$