Giải tích Ví dụ

$69 x d y + 420 y d x = 0$

Bước 1

Trừ $420 y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$69 x d y = - 420 y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $69$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

Bước 3.5

Kết hợp $- 420$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $69$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $69$ ra khỏi tích phân.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

Bước 4.3.2

Vì $420$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $420$ ra khỏi tích phân.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.3.3

Nhân $420$ với $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Rút gọn $69 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $69$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2.1.1.2

Rút gọn $420 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $420$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

Bước 5.2.1.1.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{420}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

Bước 5.2.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

Bước 5.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ .

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ cho $x^{420}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ cho $x^{420}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{420}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Bước 5.5.2.2.1.2

Chia ${| y |}^{69}$ cho $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Bước 5.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

Bước 5.5.4

Rút gọn $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Viết lại $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ ở dạng ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{69}$ ra ngoài $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

Bước 5.5.4.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo ${(x^{6})}^{69}$ ra ngoài $x^{420}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

Bước 5.5.4.1.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ .

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Bước 5.5.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Bước 5.5.4.3

Viết lại $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ .

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

Bước 5.5.4.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.4.1

Kết hợp.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Bước 5.5.4.4.2

Nhân $\sqrt[69]{e^{C}}$ với $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Bước 5.5.4.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.1

Viết lại $x^{6}$ ở dạng ${(x^{2})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

Bước 5.5.4.5.2

Viết lại $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ ở dạng $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

Bước 5.5.4.5.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

Bước 5.5.4.6

Nhân $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ với $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Bước 5.5.4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.7.1

Nhân $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ với $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Bước 5.5.4.7.2

Di chuyển $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Bước 5.5.4.7.3

Nâng $\sqrt[23]{x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Bước 5.5.4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

Bước 5.5.4.7.5

Cộng $1$ và $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

Bước 5.5.4.7.6

Viết lại ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ ở dạng $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[23]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{23}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

Bước 5.5.4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

Bước 5.5.4.7.6.3

Kết hợp $\frac{2}{23}$ và $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

Bước 5.5.4.7.6.4

Nhân $2$ với $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

Bước 5.5.4.7.6.5

Triệt tiêu thừa số chung của $46$ và $23$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.7.6.5.1

Đưa $23$ ra ngoài $46$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

Bước 5.5.4.7.6.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.7.6.5.2.1

Đưa $23$ ra ngoài $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

Bước 5.5.4.7.6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

Bước 5.5.4.7.6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

Bước 5.5.4.7.6.5.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

Bước 5.5.4.8

Nhân $x^{6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.8.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

Bước 5.5.4.8.2

Cộng $6$ và $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.9.1

Viết lại ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ ở dạng $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{22}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.9.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.2.2

Nhân $2$ với $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.3

Đưa $x^{23}$ ra ngoài.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.9.5.1

Viết lại biểu thức bằng các chỉ số chung nhỏ nhất của $69$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.9.5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[23]{x^{21}}$ ở dạng $x^{\frac{21}{23}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.5.1.2

Viết lại $x^{\frac{21}{23}}$ ở dạng $x^{\frac{63}{69}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.5.1.3

Viết lại $x^{\frac{63}{69}}$ ở dạng $\sqrt[69]{x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.9.5.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.10

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.10.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.10.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Bước 5.5.4.10.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.10.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{8}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Bước 5.5.4.10.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Bước 5.5.4.10.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

Bước 5.5.4.10.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Bước 5.5.5

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$