Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ với $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{(1 + x^{2}) y}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$y d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sắp xếp lại $1$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.2

Chia $x^{2}$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 2.3.2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Bước 2.3.2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Bước 2.3.2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Bước 2.3.2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Bước 2.3.2.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.7

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\arctan (x) + C_{3})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x - \arctan (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x - \arctan (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (x - \arctan (x) + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 x + 2 (- \arctan (x)) + 2 K$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} = 2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{2 x - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Bước 3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Bước 3.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \arctan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Bước 3.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Bước 3.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- \arctan (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x)) + 2 K}$

Bước 3.4.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x - \arctan (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$