Giải tích Ví dụ

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

Bước 1

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $x = e^{r y}$ .

Bước 2

Tìm phương trình đặc trưng của $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Bước 2.3

Thay vào phương trình vi phân.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $y (r^{2} e^{r y})$ .

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Bước 2.5

Đưa $e^{r y}$ ra ngoài $y r^{2} e^{r y}$ .

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Bước 2.6

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $y r^{2} = y^{2} + 1$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $y r^{2} = y^{2} + 1$ cho $y$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.2.1.2

Chia $r^{2}$ cho $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.3.1.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Bước 3.1.3.1.2.5

Chia $y$ cho $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Bước 3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Bước 3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để viết $y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Bước 3.3.3

Nhân $y$ với $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Bước 3.3.4

Viết lại $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Bước 3.3.5

Nhân $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ với $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Bước 3.3.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ với $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Bước 3.3.6.2

Nâng $\sqrt{y}$ lên lũy thừa $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Bước 3.3.6.3

Nâng $\sqrt{y}$ lên lũy thừa $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Bước 3.3.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Bước 3.3.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Bước 3.3.6.6

Viết lại ${\sqrt{y}}^{2}$ ở dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.3.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.3.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Bước 3.3.6.6.5

Rút gọn.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Bước 3.3.7

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Bước 3.3.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Bước 3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Bước 3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Bước 3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Bước 4

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Bước 5

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Bước 6.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ vào tử số.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$