Giải tích Ví dụ

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

Bước 1

Trừ $x (1 + x^{2}) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.1.2

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.1.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.1.4

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.1.6

Cộng $1$ và $2$ .

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.1.7

Sắp xếp lại $y$ và $y^{3}$ .

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Viết lại $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$