Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 2 y$ , $y (2) = 3$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 2 y)$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y} y$

Bước 1.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} y$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} y$

Bước 1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - 2 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 2 d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 2 d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 2 x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - 2 x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- 2 x + C}$ .

$| y | = e^{- 2 x + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 2 x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- 2 x + C}$ ở dạng $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 2 x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- 2 x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 2 x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- 2 x}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $2$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = C e^{- 2 x}$ .

$3 = C e^{- 2 \cdot 2}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{- 2 \cdot 2} = 3$ .

$C e^{- 2 \cdot 2} = 3$

Bước 6.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$C e^{- 4} = 3$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $C e^{- 4} = 3$ cho $e^{- 4}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{- 4} = 3$ cho $e^{- 4}$ .

$\frac{C e^{- 4}}{e^{- 4}} = \frac{3}{e^{- 4}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C e^{- 4}}{e^{- 4}} = \frac{3}{e^{- 4}}$

Bước 6.3.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{3}{e^{- 4}}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Di chuyển $e^{- 4}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = 3 e^{4}$

Bước 7

Thay $3 e^{4}$ cho $C$ trong $y = C e^{- 2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $3 e^{4}$ bằng $C$ .

$y = 3 e^{4} e^{- 2 x}$

Bước 7.2

Nhân $e^{4}$ với $e^{- 2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $e^{- 2 x}$ .

$y = 3 (e^{- 2 x} e^{4})$

Bước 7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = 3 e^{- 2 x + 4}$